Una introducción a la economía financiera: midiendo el riesgo (por Jan Doxrud)

¿Cómo se puede medir el riesgo? Aquí entraremos a revisar algunas fórmulas que, en un comienzo pueden parecer confusas e intimidantes, pero una vez que sean examinadas quedarán claras. Comencemos con la desviación estándar, que es una medida de cuánto se desvían los valores individuales de un conjunto de datos de su media, es decir, cuan dispersos están alrededor del valor promedio (por ejemplo, los rendimientos históricos de un activo). Mientras mayor es la dispersión, más volátil (más riesgo) y una menor dispersión, nos indica menor volatilidad (menos riesgo). La llamada campana de Gauss (representación gráfica) deriva su nombre del matemático y físico Carl Friedrich Gauss (1777-1855) aunque, como señala Nassim N. Taleb, la curva de la campana es obra del calvinista y jugador Abraham de Moivre (1667-1754), aunque, añade el mismo autor, sería Adolphe Quételet (1796-1874) quien se obsesionaría con la “media” (ver el mundo a través de la campana de Gauss), es decir, “hacer que el mundo se ajustara a su media, que para él era lo normal” (incluyendo aspectos físicos y morales de los seres humanos)

La campana o curva normal es una representación gráfica de la distribución de datos de una variable continua. La campana es simétrica respecto a la media en donde esta última coincide la mediana (valor central de un conjunto de datos) y la moda (valor que aparece con mayor frecuencia) de la variable en cuestión. Así, tenemos 2 parámetros centrales a destacar: la media (valor promedio) y la desviación estándar (grado de dispersión). Si delimitamos a +/- 1 desviación estándar, el área que queda delimitada en la curva dentro de ese rango equivale a 68%. Si extendemos el rango a 2 desviaciones estándar, entonces el área de la curva comprendida en ese rango equivale a 95.1% y si loe extendemos a 3 desviaciones estándar, esto equivale 99.7%

En resumen, tenemos que la desviación estándar es una medida estadística que se utiliza para determinar la variabilidad de un conjunto de datos con respecto a su media o promedio. Como explica Howard Marks, los inversores tienen que formarse una opinión de lo que va a acontecer en el futuro y es por ello que fijan su atención en un valor central sobre el que piensan que “va a tender a agruparse el resto de posibles resultados”. Ahora bien, el autor advierte que para lidiar con el futuro no es suficiente con tener expectativas centrales puesto que se debe tener una noción del resto de los escenarios posibles. Una distribución normal presupone que los eventos en las “colas” se producen con una frecuencia muy baja pero, como explica Marks, en el contexto de la distribución de los resultados financieros las colas pueden a llegar a ser gordas. Marks nos ofrece el ejemplo de la crisis subprime:

“(…) cuando comenzaron a generalizarse los defaults de las hipotecas basura, eventos que se pensaba que no podían ocurrir muy de vez en cuando empezaron a impactar de forma continuada a vehículos relacionados con hipotecas. Los inversores que habían invertido en vehículos diseñados sobre la base de una distribución normal y con poco margen de supervivencia a los eventos de las colas (algunos prefieren utilizar el término de Nassim Nicholas Taleb “cisnes negros”) vieron cómo estos se evaporaban”

Volviendo a la desviación estándar, a continuación presentaré la formula y posteriormente seguiremos con algunos ejemplos en donde aplicaremos la siguiente fórmula (aclaración: como se trata de una “muestra” se divide por n-1)

Comencemos con la inversión A y el primer paso: calcular la media aritmética

Rentabilidad del fondo A

11.53%

0.75%

12.75%

32.67%

15.77%

Promedio= 14.69%

Ahora seguimos con el paso 2 que es calcular la varianza en donde restaremos los rendimientos individuales y el promedio que calculamos anteriormente. Posteriormente elevamos el resultado al cuadrado para luego sumarlos y dividirlo por el número de período menos 1.

Así tenemos:

(11.53%-14.69%)² + (0.75%-14.69%)² + (12.75%-14.69%)² + (32.67%-14.69%)² + (15.77%-14.69%)²

(3,16) ² + (-13,94) ² + (-1,94) ² + (17,98) ² + (1,08) ² /5-1

(9,99) + (194,32) + (3,76) + (323,98) + (1,17) / 5-1

= 133,305

Finalmente viene el paso 3 para obtener la desviación estándar debemos obtener la raíz cuadrada de la varianza (la desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza y la varianza es el cuadrado de la desviación estándar) √133,305= 11,55% (como explica Julian Alonso, una propiedad útil de la desviación estándar, y que la diferencia de la varianza, es que se “expresa en las mismas unidades que los datos a partir de los que se calcula)

Continuemos ahora con la Inversión B para así poder comparar los resultados

Rentabilidad Fondo B

4.13%

3.86%

0.32%

11.27%

21.63%

Promedio= 8.24%.

Calculamos la varianza:

Diferencia entre retorno y retorno promedio

(4,13%-8,24%)² + (3,86%- 8,24%)² + (0,32- 8,24%)² + (11.27%- 8,24) ² + (21.63%- 8,24)² /5-1

(-4,11) ² + (-4,38) ² + (-7,92) ² + (3,03) ² + (13,39) ² /5-1

(16,92) + (19,19) + (62,73) + (9,18) + (179,29) / 5-1

= 71,81

Obtenemos la desviación estándar

√71.81= 8.47%

Finalmente tenemos el siguiente resultado:

Tenemos así que hay una mayor dispersión de los rendimientos respecto a la media en el Fondo A que en el Fondo B, lo que lo hace también más volátil. A continuación dejo otro ejemplo: